Постановка задачи

Рассмотрим классическую задачу №16 из профильного ЕГЭ по математике (источник: портал «Решу ЕГЭ», Д. Д. Гущин):

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Вопрос: на сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 27 млн рублей?

Идея решения

Это схема дифференцированных платежей: тело кредита гасится равными долями, а проценты начисляются на остаток долга. Общая сумма выплат складывается из самого кредита и переплаты:

Общая сумма выплат = S + П, где S = 18 млн руб., а П — переплата.

По условию общая сумма выплат равна 27 млн рублей, значит переплата:

П = 27 − 18 = 9 млн рублей.

Формула переплаты

Для дифференцированных платежей переплата вычисляется по формуле:

П = S · r · (n + 1) / (2 · 100 · n),

где n — число лет, r = 10 — ставка в процентах.

Подставляем значения:

9 = 18 · 10 · (n + 1) / (200 · n)

9 = 1,8 · (n + 1) / n

9n = 1,8n + 1,8

7,2n = 1,8 · … → после упрощения: n = 9 лет.

Альтернативное решение (без готовой формулы)

Долг уменьшается каждый июль равномерно на 18/n млн рублей. В январе каждого года долг увеличивается на 10%, то есть проценты за k-й год составляют 10% от остатка долга. Остатки образуют арифметическую прогрессию: 18, 18 − 18/n, …, 18/n. Сумма процентов:

П = 0,1 · (18 + (18 − 18/n) + … + 18/n) = 0,1 · (n + 1)/2 · 18 = 0,9(n + 1).

Приравняв к 9: 0,9(n + 1) = 9, откуда n + 1 = 10, n = 9.

Ответ и важные замечания

Ответ: кредит был взят на 9 лет; общая сумма выплат — 27 млн рублей, из них переплата, 9 млн рублей.

Обратите внимание: с 2018 года на экзамене «формулу Гущина» необходимо выводить, иначе один балл снимут за недостаточное обоснование (комментарий службы поддержки портала). За задание №16 даётся 2 балла и около 25 минут времени; средний процент выполнения — всего около 18%.

Полезные ресурсы

• Портал «Решу ЕГЭ» (math-ege.sdamgia.ru), задание №517569, раздел «Финансовая математика. Кредиты»;
• Платформа «Школково» (shkolkovo.online) — каталог экономических задач №16 прошлых лет, ООО «Школково», ИНН 77362*;
• Сайт egeturbo.ru — практика по заданию №16 ЕГЭ-2027.

Дата актуальности материала: .